毛細(xì)管效應(yīng)的研究歷史及規(guī)律簡(jiǎn)介

　　當(dāng)把一個(gè)玻璃毛細(xì)管插入水中，很明顯能夠看到毛細(xì)管中的水會(huì)上升，最終停留在一個(gè)比水平面高的位置，這就是毛細(xì)管上升效應(yīng)。這么一個(gè)看似簡(jiǎn)單的過(guò)程，卻是界面浸潤(rùn)性領(lǐng)域的研究基石，人類從初步意識(shí)到這個(gè)現(xiàn)象到完全理解其規(guī)律經(jīng)歷了三百多年的歷史。

　　達(dá)芬奇（Leonardo da Vinci 1452–1519）是第一個(gè)有記錄地觀察這個(gè)現(xiàn)象，他相當(dāng)大膽地在筆記中做出設(shè)想，認(rèn)為山上泉水就是源于這一系列組成網(wǎng)絡(luò)的毛細(xì)管提供的升力作用而形成的。Jacques Rohault (1620–1675)，做出的解釋是，毛細(xì)管上升的是由于空氣不穩(wěn)定，空氣可以在窄的毛細(xì)管中進(jìn)行流通，創(chuàng)造出真空來(lái)使液體上升的。天文學(xué)家Geminiano Montanari (1633–1687) 把毛細(xì)上升現(xiàn)象和植物流出的汁液做了對(duì)比研究。以觀察木星的衛(wèi)星和動(dòng)物行為著名的Giovanni Borelli (1608–1679)，在1670年提出了毛細(xì)上升高度和毛細(xì)管半徑成反比的關(guān)系。

　　Francis Hauksbee (1713)是第一個(gè)系統(tǒng)地研究毛細(xì)管上升現(xiàn)象，然而作為故事的重要主角，他卻被不公平地遺忘了。他使用染色的液體和玻璃管做了一系列實(shí)驗(yàn)，并從中得出了如下結(jié)論：

　　毛細(xì)管上升現(xiàn)象，在空氣中和真空中都會(huì)發(fā)生。（反駁了上面的空氣傳遞的觀點(diǎn)）

　　毛細(xì)管上升效應(yīng)不只是存在于圓柱形狀的毛細(xì)管里。他也存在于兩塊平行的固體板中，但是當(dāng)板子距離與毛細(xì)管直徑相等時(shí)，板子中間液體上升的高度是毛細(xì)管內(nèi)部液體上升高度的一半。

　　毛細(xì)管上升效應(yīng)也存在與其他固體（大理石，黃銅）和其他液體（乙醇，油等）的相互作用中。

　　毛細(xì)管中液體上升的高度與毛細(xì)管的壁厚無(wú)關(guān)。他使用不同外壁厚度（內(nèi)徑相同）的玻璃管，發(fā)現(xiàn)上升的高度幾乎相同。

　　牛頓是Francis Hauksbee的同事，他在自己的光學(xué)專著中描述了這些實(shí)驗(yàn)結(jié)果，不幸地是，卻并沒(méi)有提及Hauksbee的名字。在1712年，被稱為泰勒展開(kāi)式之父的泰勒，做了一個(gè)兩個(gè)平板間毛細(xì)管效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)。他驚奇地發(fā)現(xiàn)，固體壁邊緣的液面輪廓竟然看著像一條雙曲線。之后Francis Hauksbee通過(guò)自己精確的測(cè)量數(shù)據(jù)證實(shí)了這個(gè)結(jié)論。然而，基于種種原因，這些人最終都沒(méi)能把自己的名字寫(xiě)在毛細(xì)管上升效應(yīng)的定律里。

　　幸運(yùn)之神反而降落到一個(gè)叫James Jurin(1684–1750)的英國(guó)心理學(xué)家身上，他在1718年獨(dú)立地證明了毛細(xì)管中液體上升的高度和毛細(xì)管的直徑成反比關(guān)系，因此毛細(xì)管效應(yīng)也被稱為“Jurin‘s law”。 又過(guò)了約一個(gè)世紀(jì)，在1806年，這個(gè)現(xiàn)象背后的原因才最終被Laplace的理論完全揭示。

　　Laplace的理論指出，固氣界面和固液界面都存在著表面能分別記為γso和γsl, 只有γso大于γsl的時(shí)候，毛細(xì)管中的液體才會(huì)上升。我們可以定義一個(gè)上升參數(shù)I為：

　　當(dāng)I大于零時(shí)，這時(shí)，毛細(xì)管上升就會(huì)減少固氣界面（被表面能小的固液界面替代），因而會(huì)降低體系的能量，這時(shí)毛細(xì)管中液體會(huì)上升。當(dāng)I小于零時(shí)，毛細(xì)管下降會(huì)減少固液界面（被表面能小的固氣界面替代），因而也會(huì)降低體系能量，所以毛細(xì)管會(huì)下降。其實(shí)使用楊氏方程（γso – γsl = γcosθE）把上式代換，可以得到I = γcosθE ，這樣就能把問(wèn)題轉(zhuǎn)為接觸角θE大于或小于90°的問(wèn)題，不再贅述。

　　下面分析毛細(xì)管效應(yīng)中的能量問(wèn)題。既然毛細(xì)管上升會(huì)降低能量，那么能量最低時(shí)的液面高度就是最后液面穩(wěn)定的高度。

　　設(shè)液面上升的液體柱高度為h，玻璃管半徑為R，那么對(duì)于這個(gè)液體柱的能量E 包括表面能和重力勢(shì)能，關(guān)系為：

　　式中右邊第一項(xiàng)就是表面能，第二項(xiàng)就是重力勢(shì)能。這個(gè)關(guān)系式是在上升高度h遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于半徑R時(shí)才成立，這時(shí)才可以把彎液面的形貌給簡(jiǎn)化為平面來(lái)計(jì)算表面能和重力勢(shì)能。

　　把上面關(guān)系 I = γcosθE帶入并通過(guò)微分，求能量E最低時(shí)的H值，可得其關(guān)系為：

　　這就是毛細(xì)管上升的高度公式，通過(guò)能量分析，更能明確地感到這個(gè)過(guò)程是個(gè)自發(fā)過(guò)程。而不是有人認(rèn)為的，上升液體的重力勢(shì)能沒(méi)有來(lái)源，從而違反熱力學(xué)第二定律。

　　需要指出的是，這個(gè)公式只有在毛細(xì)管半徑R遠(yuǎn)小于H的情形下才會(huì)精確，一般要求R遠(yuǎn)小于毛細(xì)作用長(zhǎng)度（2.71mm）。如果不滿足這個(gè)情形，公式3必須做相應(yīng)的修正，在19世紀(jì)，這個(gè)公式被Laplace，Poisson, Gauss 和Rayleigh 分別修正過(guò)。

　　與很多前人的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象相吻合。比如，它符合上升高度和毛細(xì)管半徑成反比的關(guān)系。其次，當(dāng)接觸角θE大于90°時(shí)，H為負(fù)值，它同樣適用于毛細(xì)下降的情形。還有一個(gè)情形，就是如果毛細(xì)管的高度h小于這個(gè)能量最低時(shí)的高度H時(shí)，會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象，液體會(huì)不會(huì)噴涌而出，從而可以利用這種爆發(fā)的能量。答案當(dāng)然是不會(huì)的，當(dāng)h很小時(shí)，液體會(huì)充滿整個(gè)毛細(xì)管，這時(shí)毛細(xì)管內(nèi)的液面不再是穩(wěn)定接觸角θE，而會(huì)大于這個(gè)值，從而使H變小，直到平衡，這個(gè)要從力的觀點(diǎn)去解釋更為方便。

　　國(guó)內(nèi)的教材中，幾乎都是力的角度來(lái)推出毛細(xì)管上升的公式的。而且，都是默認(rèn)毛細(xì)作用力與重力的平衡，這種默認(rèn)讓不理解表面張力的同學(xué)難以接受。下面從外文教材中給出一個(gè)比較新的思路，去推出毛細(xì)作用力的大小，而不是直接默認(rèn)。

　　對(duì)于毛細(xì)管上升的液面，其液面分析如圖2所示，由Laplace附加壓力方程可以知道，在緊挨著液體界面處，點(diǎn)A的壓強(qiáng)為：

　　P0為大氣壓強(qiáng)，PA為A點(diǎn)的壓強(qiáng)。然后再看與水平位置相同高度的B點(diǎn)，以B點(diǎn)為參考點(diǎn)，則A點(diǎn)的壓強(qiáng)為B點(diǎn)的靜壓強(qiáng)減去pgh，B點(diǎn)的壓強(qiáng)和大氣壓壓強(qiáng)是相同的，從而得出：

　　化簡(jiǎn)一下公式5就推出了公式3的方程。國(guó)內(nèi)的很多教材，直接從毛細(xì)作用力提供液體重力，直接給出了公式5的簡(jiǎn)化版，這樣跳躍性有點(diǎn)太大。

　　下面我們推出毛細(xì)作用穩(wěn)定時(shí)體系中毛細(xì)作用力的大小和方向是什么。

　　在液體上升穩(wěn)定后，由于毛細(xì)管內(nèi)部的液體高于水平面的高度。所以一定存在一個(gè)力F，這個(gè)力的作用可以平衡這部分液體的重力，從而使液面穩(wěn)定。根據(jù)力的平衡，其大小為：

　　玻璃毛細(xì)管通過(guò)觀察公式7可知，這個(gè)力等于液體表面張力與液面上固液氣三相接觸線周長(zhǎng)的乘積。由于這個(gè)力是在毛細(xì)上升過(guò)程穩(wěn)定液面穩(wěn)定的力，可以稱為毛細(xì)作用力。此毛細(xì)作用力作用在三相接觸線上，方向平行于固氣界面，豎直向上。